前言:

背包问题（Knapsack Problem）是组合优化问题中的一个经典问题，有多个变种。这里我们讨论的是 0/1 背包问题，这是最基本的一种形式。问题的描述如下：

给定 n 件物品，每件物品有一个重量 wi 和一个价值 vi，以及一个背包，它能够承载的最大重量为 W。我们需要确定应该将哪些物品放入背包，以使得背包内物品的总价值最大。

背包问题分类:

• 0-1背包问题
• 完全背包问题 
• 多重背包问题
• 混合背包问题
• 二维背包问题
• 分组背包问题
• 有依赖的背包问题 (困难)

解题思路:

使用动态规划可以有效地解决 0/1 背包问题。动态规划的思想是将问题分解成子问题，并利用子问题的解来构建原问题的解。

1. 定义状态：用 dp[i][j]表示前 i件物品恰好放入一个容量为 j的背包时所能获得的最大价值。
2. 状态转移方程：        

• 如果不选第 i件物品：dp[i][j]=dp[i−1][j]
• 如果选第 i件物品：dp[i][j]=dp[i−1][j−wi]+vi
• 综上：dp[i][j]=max⁡(dp[i−1][j],dp[i−1][j−wi]+vi)

1. 初始条件：dp[0][j]=0对于所有的 j，即没有物品时的最大价值为 0。

实现代码

public class Knapsack {
    public static int knapsack(int W, int[] weights, int[] values, int n) {
        int[][] dp = new int[n + 1][W + 1];

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int w = 0; w <= W; w++) {
                if (weights[i - 1] <= w) {
                    dp[i][w] = Math.max(dp[i - 1][w], dp[i - 1][w - weights[i - 1]] + values[i - 1]);
                } else {
                    dp[i][w] = dp[i - 1][w];
                }
            }
        }
        return dp[n][W];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int W = 50; // 背包容量
        int[] weights = {10, 20, 30}; // 物品重量
        int[] values = {60, 100, 120}; // 物品价值
        int n = values.length;

        System.out.println("最大价值: " + knapsack(W, weights, values, n));
    }
}

QA1: